Po święceniach posługiwał jako kapelan szpitala w Gorlicach, później wikariusz w Tarnowcu, Kolbuszowej, Gorlicach i dwa lata jako dyrektor Katolickiego Radia Via oraz Kapelan Policji Podkarpackiej. W 2004 r. wyjechał do Stanów.

Ks. Sławomir Kurc pracuje w Archidiecezji Chicago ponad 20 lat, posługując w dużej mierze Polonii Amerykańskiej. Podczas swojej 16-sto letniej posługi w Parafii Św. Daniela Proroka w południowej części Chicago, mocno zaangażował się w duszpasterstwo Polonii Amerykańskiej, duszpasterstwo Polskich Szkół Polonijnych, ucząc katechezy i otaczając je opieką duchową. Podczas swojego pobytu w Stanach, służy Wspólnocie Górali, będąc VC Kapelanem Związku Podhalan.

Przez wiele lat włączał się w prowadzenie wielkich procesji Dróg Krzyżowych i Różańcowych ulicami Chicago. Jako Kapelan kół Chochołów, Szaflary, Poronin i Siumni, otaczał te koła swoją posługą sakramentalną, odwiedzając chorych ich członków, uczestnicząc w ich ostatniej drodze, jak również przeżywając wraz z nimi rocznice, jubileusze czy inne święta.

Ks. Sławomir Kurc nadal pełni rolę VC Kapelana Związku Podhalan, posługując Polonii Amerykańskiej, jak i Związkowi Podhalan Ameryki Północnej na północno-zachodnich przedmieściach Chicago. Od dwóch lat pracuje jako wikariusz w nowo powstałej Parafii SS. Thomasa Becketa w Mount Prospect i Alphonsa Liguori w Prospect Heights.